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<!DOCTYPE html>

<title>Dekonvolution</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Dekonvolution</span></h1>

</header>

</div>

<p>Mit <b>Dekonvolution</b> <i>(<span style="font-style:normal;font-weight:normal"><a href="Deutsche_Sprache" title="Deutsche Sprache">deutsch</a></span> <span lang="de-Latn">Entfaltung</span>)</i> bezeichnet man die Umkehrung der sog. <a href="Faltung_(Mathematik)" title="Faltung (Mathematik)">Faltungsoperation</a>. Dabei handelt es sich um eine mathematische Transformation, die unter anderem in der <a href="Signalverarbeitung" title="Signalverarbeitung">Signal-</a> und <a href="Bildverarbeitung" title="Bildverarbeitung">Bildverarbeitung</a> Anwendung findet. Eine Faltung kann immer berechnet werden, während ihre Umkehrung nicht immer möglich ist, weil bei der Faltung Informationen verloren gehen können, die nicht wiederherstellbar sind. Um trotzdem eine möglichst gute inverse Faltung berechnen zu können, wurden rechenintensive Algorithmen und Verfahren entwickelt.

</p><p>Ein einfaches Beispiel ist etwa das Schärfen eines Bildes. Der Vorgang des Verwischens (Unschärfe) wird durch eine Faltung dargestellt. Das Schärfen des Bildes, wie es viele Bildbearbeitungsprogramme unterstützen, entspricht dann einer Dekonvolution (siehe Bild rechts).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Mathematik">Mathematik</h2></div>

<p>In der Mathematik bezeichnet Dekonvolution oder Entfaltung die Umkehrung einer <a href="Faltung_(Mathematik)" title="Faltung (Mathematik)">Faltung</a> (symbolisch: „<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\textstyle *}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\textstyle *}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/002e1ecb3a4aee21da01ded4ffeeb90cae6ce2db.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: 0.079ex; margin-bottom: -0.25ex; width:1.162ex; height:1.509ex;" alt="{\textstyle *}" loading="lazy"></span>“, um eine Verwechslung mit der punktweisen Multiplikation zu vermeiden, s. u.) zweier Funktionen. Allgemein dargestellt, entspricht dies dem Versuch, aus dem Ergebnis <i>f</i> der Faltung zweier Funktionen <i>g</i> und <i>h</i>

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=g*h\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/27d974afb4ad17fb28bb22f6dbf5a82a4807bcb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.414ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=g*h\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>die unbekannte Funktion <i>g</i> bei bekanntem <i>h</i> und <i>f</i> zu bestimmen; dieses Problem wird auch als <i>inverses Faltungsproblem</i> bezeichnet. Ein allgemeiner Lösungsansatz ergibt sich aus dem <i>Faltungssatz</i>, welcher besagt, dass die <a href="Fourier-Transformierte" class="mw-redirect" title="Fourier-Transformierte">Fourier-Transformierte</a> einer Faltung zweier Funktionen gleich dem Produkt der Fourier-Transformierten der beiden Funktionen ist. Dementsprechend lässt sich obige Gleichung auch schreiben als

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}={\hat {g}}\cdot {\hat {h}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8fecaf06221e1b1e1392538956a982d994f9fe82.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.047ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}={\hat {g}}\cdot {\hat {h}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {f}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {f}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/14ce989fd75da938ec6f95a0cdb71037b23a11cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.699ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {f}}}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {g}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {g}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9351259e90225fb86e6d884862bd7ccc579db8ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.232ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {g}}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {h}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {h}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61505780f3740aa55551090a2b23c668c934a82b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {h}}}" loading="lazy"></span> die Fourier-Transformierten von <i>f</i>, <i>g</i> und <i>h</i> bezeichnen. Somit ließe sich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {g}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {g}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9351259e90225fb86e6d884862bd7ccc579db8ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.232ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle {\hat {g}}}" loading="lazy"></span> prinzipiell bestimmen als

</p>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {g}}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d22a2b872702faaba7d847bc4390d7b51bd33d8c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:6.865ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {g}}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und hieraus durch inverse Fourier-Transformation <i>g</i>. Allerdings ist dieser allgemeine Ansatz in der Regel nicht anwendbar, da erstens die Funktion <i>g</i> nicht eindeutig sein muss, zweitens die Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {h}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {h}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61505780f3740aa55551090a2b23c668c934a82b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {h}}}" loading="lazy"></span> Nullstellen enthalten kann und drittens reale Daten meist mit einem additiven Rauschen, entsprechend einem Zusatzterm <i>n</i>, behaftet sind, so dass sich in solchen Fällen das ursprüngliche Problem zu

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f=g*h+n\,}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43c71e236870d7177d2a0b860c64a5810e186045.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.649ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle f=g*h+n\,}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>verkompliziert. Aus diesem Grund werden diverse Verfahren verwendet, die aus <i>h</i> und <i>f</i> das <i>wahrscheinlichste</i> Ergebnis für <i>g</i> zu ermitteln versuchen, da eine <i>eindeutige</i> analytische Lösung nicht existiert. Es zeigt sich, dass das Rauschen <i>n</i> bei einer naiven Rückfaltung mit obiger Divisions-Methode überproportional verstärkt wird:

</p>

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</mover>

</mrow>

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</mover>

</mrow>

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</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mover>

</mover>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {g}}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}-{\frac {\hat {n}}{\hat {h}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8daf033ff463912811565e2bb50741cdd714d96e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:11.936ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {g}}={\frac {\hat {f}}{\hat {h}}}-{\frac {\hat {n}}{\hat {h}}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Die Verstärkung rührt daher, dass <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {h}}}">

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {h}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/61505780f3740aa55551090a2b23c668c934a82b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle {\hat {h}}}" loading="lazy"></span> üblicherweise zu hohen Frequenzen hin gegen 0 abfällt (z. B. Glättungsfilter = Tiefpassfilter), während das Rauschen gerade auch dort Frequenzanteile enthält, die dann durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 1/{\hat {h}}}">

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 1/{\hat {h}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/588b1d39359c461e1c1f22dd642f9a66eb73777a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:3.664ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle 1/{\hat {h}}}" loading="lazy"></span> verstärkt werden.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bildverarbeitung">Bildverarbeitung</h2></div>

<p>Dekonvolution wird zum Beispiel zum Schärfen von Bildern in der Astrofotografie und Mikroskopie verwendet. Dekonvolutions-Filter versuchen, die Unschärfe mathematisch zu erfassen und rückgängig zu machen. Einige Verfahren sind:

</p>

<ul><li><a href="Van-Cittert-Dekonvolution" title="Van-Cittert-Dekonvolution">Van-Cittert-Dekonvolution</a></li>

<li><a href="Wiener-Dekonvolution" title="Wiener-Dekonvolution">Wiener-Dekonvolution</a></li>

<li>Richardson-Lucy-Dekonvolution</li>

<li><span lang="en">blind deconvolution</span> oder dt. Blindentfaltung</li>

<li>Meinel-Dekonvolution</li>

<li>ZNova-Algorithmus bzw. ZNova-Dekonvolution</li>

<li>Agard-Sedat-Dekonvolution</li></ul>

<p>Die Schärfung erfolgt über die sogenannte PSF-Matrix (engl.: <span lang="en">point spread function</span>, <a href="Punktspreizfunktion" title="Punktspreizfunktion">Punktspreizfunktion</a>). Diese beschreibt den Vorgang, der die Unschärfe erzeugt hat. Es kann sich z. B. um die Filtermaske eines Unschärfefilters handeln (z. B. <a href="Gau%C3%9F-Filter" title="Gauß-Filter">Binomialfilter</a>). Eine PSF kann auch für ein beliebiges optisches Abbildungssystem, wie etwa das Objektiv einer Kamera oder eines Mikroskops<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>, berechnet werden (beispielsweise mit der Software <i>PSF Lab</i> für ein <a href="Konfokales_Mikroskop" class="mw-redirect" title="Konfokales Mikroskop">konfokales Mikroskop</a>). Eine vollständige Restaurierung eines Bildes ist oft nicht möglich, weil bei der „Unschärfung“ Informationen verlorengehen. Die hier angeführten Verfahren versuchen aber, möglichst viele Informationen aus der PSF und dem Bild zurückzugewinnen. „<span lang="en">Blind deconvolution</span>“ versucht, die optimale PSF-Matrix aus dem Bild zu schätzen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Michael J. Nasse, Jörg C. Woehl: <i>Realistic modeling of the illumination point spread function in confocal scanning optical microscopy.</i> In: <i>The Journal of the Optical Society of America A.</i> Bd. 27, Nr. 2, 2010, <span class="-print"><a href="Internationale_Standardnummer_f%C3%BCr_fortlaufende_Sammelwerke" title="Internationale Standardnummer für fortlaufende Sammelwerke">ISSN</a> <span style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://zdb-katalog.de/list.xhtml?t=iss%3D%221084-7529%22&key=cql">1084-7529</a></span></span>, S. 295–302, <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1364/JOSAA.27.000295">10.1364/JOSAA.27.000295</a></span>.</span>

</li>

</ol>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<ul><li>Tim Cornwell, Alan Bridle: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cv.nrao.edu/~abridle/deconvol/deconvol.html">Deconvolution Tutorial</a></i> (engl.). National Radio Astronomy Observatory, 4. November 2006.</li></ul>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4014854-3">4014854-3</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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